Question

已知函数f（x）=3tan（

1

2

x-

π

3

）．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）讨论f（x）的周期性，奇偶性和单调性．

Answer 1

考点：正切函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由

1

2

x-

π

3

≠

π

2

+kπ，k∈Z，解得x的范围，可得函数的定义域，再结合正切函数的图象特征可得值域．
（2）由f（x）的解析式可得周期，再根据f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），可得f（x）为非奇非偶函数．由-

π

2

+kπ＜

1

2

x-

π

3

＜

π

2

+kπ，k∈Z，解得x的范围，可得函数的增区间．

解答：解：（1）由

1

2

x-

π

3

≠

π

2

+kπ，k∈Z，解得x≠

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴定义域为{x|x≠

5π

3

+2kπ，k∈Z}，值域为R．
（2）f（x）为周期函数，周期T=

π

1 2

=2π．
再根据f（-x）=3tan（-

1

2

x-

π

3

）=-3tan（

1

2

x+

π

3

），
∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）为非奇非偶函数．
由-

π

2

+kπ＜

1

2

x-

π

3

＜

π

2

+kπ，k∈Z，解得-

π

3

+2kπ＜x＜

5π

3

+2kπ，k∈Z，
故函数的增区间为（-

π

3

+2kπ，

5π

3

+2kπ），k∈Z．

点评：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．