Question

10．实数x，y，z满足x＞0，y＞0，z＞0，求证：$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}≤\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：$x＞0⇒\sqrt{x}=\sqrt{1•x}≤\frac{1+x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$，
$y＞0⇒\sqrt{y}=\sqrt{1•y}≤\frac{1+y}{2}=\frac{y}{2}+\frac{1}{2}$，
$z＞0⇒\sqrt{z}=\sqrt{1•z}≤\frac{1+z}{2}=\frac{z}{2}+\frac{1}{2}$
当且仅当x=y=z=1时，不等式等号成立
三个不等式相加可得$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}≤\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{3}{2}$…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．