Question

8．在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“D-数列”．
（1）举出一个前五项均不为零的“D-数列”（只要求依次写出该数列的前五项）；
（2）若“D-数列”{a_n}中，a₁=3，a₂=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，写出数列{a_n}的通项公式，并分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；
（3）证明：设“D-数列”{a_n}中的最大项为M，证明：a₁=M或a₂=M．

Answer 1

分析 （1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；
（2）{a_n}的极限不存在，{b_n}的极限存在．运用分段形式写出a_n与b_n的通项公式，即可得到结论；
（3）运用反证法证明．假设a₁≠M且a₂≠M，设a₁=k，a₂=l，讨论k，l的关系．运用推理论证得到矛盾，即可证明．

解答 解：（1）如10，9，1，8，7等等．
（2）{a_n}的极限不存在，{b_n}的极限存在．
事实上，因为|3-0|=3，|0-3|=3，|3-3|=0，
当n∈N^*时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=3k-2}\\{0，n=3k-1}\\{3，n=3k}\end{array}\right.$，k∈N^*时，
因此当n∈N^*时，b_n=6．
所以$\underset{lim}{n→∞}$b_n=6．
（3）证明：假设a₁≠M且a₂≠M，
设a₁=k，a₂=l，若k=l，
由a_n=|a_n-1-a_n-2|，可得{a_n}中的最大项为k，（k≠m），
这与{a_n}中的最大项为M矛盾；
若k≠l，可设k＞l，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，
可得前几项为k，l，k-l，k-2l（或2l-k），…，
由k-2l＜k，2l-k＜k，可得k-3l＜k，3l-2k＜k，…，
则{a_n}中的最大项为k，（k≠m），
这与{a_n}中的最大项为M矛盾．
综上可得假设不成立．则a₁=M或a₂=M．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查数列极限的求法和不等式的证明方法：反证法，考查运算和推理能力，属于中档题．