Question

20．在棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，表示出直线D₁E所在的向量与AF，AB₁所在的向量，利用线面垂直关系得到向量的数量积为0，进而得到答案．

解答 （本小题满分12分）
解：如图建立空间直角坐标系：
则A（1，0，0），B₁（1，1，1），
D₁（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0）．   
设F（0，y，0），则$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（-1，y，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1），
要使D₁E⊥平面AB₁F，
只需：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{1-1=0}\\{-\frac{1}{2}+y=0}\end{array}\right.$，
即：y=$\frac{1}{2}$．
∴当F为CD中点时，有D₁E⊥平面AB₁F．

点评 解决此类问题的常用方法是，熟悉几何体的结构特征，通过建立空间直角坐标系进而利用空间向量即可解决线面垂直、平行关系，以及空间角与空间距离等问题，本题属于中档题．