Question

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

 

 

Answer 1

(1)见解析；(2)45?.

【解析】试题分析：(1)利用圆的切割线定理，寻求相关线段的关系；(2)充分利用弦切角等于同弧所对圆心角求解∠A.

试题解析：(Ⅰ)证明：

因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB?AD，所以AT 2＝BT?AD． 4分

(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．

由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90?.

所以∠A＝∠ATB＝45?. 10分

考点:平面几何证明，直线与圆的位置关系