Question

4．双曲线与椭圆4x²+y²=64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 先把椭圆方程整理成标准方程，进而求得焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，设出双曲线标准方程，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线方程可得．

解答 解：椭圆方程整理得$\frac{{y}^{2}}{64}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
焦点为（0，4$\sqrt{3}$）（0，-4$\sqrt{3}$），离心率e=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴双曲线离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=48}\end{array}\right.$，解得a=6，b=2$\sqrt{3}$，
故双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的标准方程．双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握．