Question

9．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD交于点O，连接OM，推导出PA∥OM，由此能证明PA∥平面BMD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答 证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．
则AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，2，2$\sqrt{3}$），B（4，0，0），D（0，4，0），
$\overrightarrow{BP}$=（-4，2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-4，4，0），
设平面BPD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-4x+2y+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角P-BD-A的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．