题目内容
8．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；
（2）A1N∥平面AMP．
分析 （1）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．
（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE∥平面APM，由此能证明A1N∥平面AMP．
解答 
证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，M是BB1的中点
∴AM⊥BC，AM⊥BB1，
∵BC∩BB1=B，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵AM?平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C．
（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，
∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，
∴NE∥BC1∥PM，A1E∥AM，
∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM?平面APM，A1E、NE?平面A1EN，
∴平面A1NE∥平面APM，
∵A1N?平面A1NE，∴A1N∥平面AMP．
点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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