Question

11．已知f（x）=$\frac{m}{x}$，g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，且对任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
（1）判断g（x）在（2，+∞）上的单调性；
（2）设集合A={x|f（x）=2，x＞2}，证明：A=∅．

Answer 1

分析 （1）g（x）在（2，+∞）上为增函数，结合已知中对任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁可证明结论；
（2）由（1）可得x＞2时，g（x）＞g（2）恒成立，即m≤4，故x＞2时，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，进而证得A=∅．

解答 解：（1）g（x）在（2，+∞）上为增函数，理由如下：
∵对任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
∴f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
∴$\frac{m}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{m}{{x}_{2}}$+x₂，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}+m}{{x}_{1}}$＞$\frac{{{x}_{2}}^{2}+m}{{x}_{2}}$，
故对任意x₁＞x₂≥2，都有g（x₁）＞g（x₂），
故g（x）在（2，+∞）上为增函数；
证明：（2）由（1）得，x＞2时，g（x）＞g（2）恒成立，
∴$\frac{{x}^{2}+m}{x}$＞2+$\frac{m}{2}$在x＞2时恒成立，
即m＜2x在x＞2时恒成立，
∴m≤4，
∴x＞2时，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，
∴集合A={x|f（x）=2，x＞2}=∅．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，抽象函数及其应用，函数的单调性的判断与证明，难度中档．