Question

2．在（x+$\frac{3}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x³的系数为（　　）

• A． 15
• B． 45
• C． 135
• D． 405

Answer 1

分析 对于二项式各项系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ，最后通过比值关系为64即可求出n的值，利用二项式定理的展开式中的通项，再求出特定项的系数，求出所求即可

解答 解：令（x+$\frac{3}{\sqrt{x}}$）ⁿ中x为1得各项系数和为4ⁿ，
又展开式的各项二项式系数和为2ⁿ，
∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，
∴$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=64，
解得n=6，
∴二项式的展开式的通项公式为T_r+1=C₆^r•3^r•${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=3，求得r=2，故开式中含x³项系数为C₆²•3²=135，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．