Question

18．已知函数f（x）=-x²+ax-b．
（1）若a、b分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求f（x）=0有解的概率；
（2）若a、b都是从区间[0，4]任取的一个实数，求f（1）＞0成立的概率．

Answer 1

分析 （1）f（x）=0有解，（a，b）应满足a²-4b≥0，确定基本事件的个数，利用概率公式，即可求f（x）=0有解的概率；
（2）若a、b都是从区间[0，4]任取的一个实数，以面积为测度，即可求f（1）＞0成立的概率．

解答 解：（1）（a，b）的所有结果有36种，设“f（x）=0有解”为事件A，则
（a，b）应满足a²-4b≥0．这样的（a，b）有19个，即（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，1）（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5.6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）．所以P（A）=$\frac{19}{36}$．…（6分）
（2）f（1）=-1+a-b＞0，即a-b＞1，如图：

A（1，0），B（4，0），C（4，3），S_△ABC=$\frac{9}{2}$，
P=$\frac{S△ABC}{S矩}$=$\frac{\f（9}{2}，4×4）$=$\frac{9}{32}$．（12分）

点评 本题考查古典概型、几何概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．