Question

12．设函数f（x）=|x+2|+|x-a|（a∈R）．
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a求实数a的取值范围；
（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当$a+2=\frac{3}{2}a$时，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，从而求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，
当a＜0时，要保证f（x）≥-a恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a，解得a≥-1，∴0＞a≥-1
综上所述，a≥-1．（5分）
（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当$a+2=\frac{3}{2}a$时，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，即a=4，

所以a的取值范围是（-∞，4]时$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立．（10分）

点评 本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．