Question

5．已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，判断并证明函数f（x）的增减性．

Answer 1

分析 据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增．

解答 解：（1）由题意知，a^x-1＞0，
所以当a＞1时，f（x）的定义域是（0，+∞），0＜a＜1时，f（x）的定义域是（-∞，0）；
（2）f′（x）=$\frac{{a}^{x}lna}{{a}^{x}-1}$•log_ae=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}-1}$，
当a＞1时，x∈（0，+∞），因为a^x-1＞0，a^x＞0，故f′（x）＞0，所以f（x）是增函数．

点评 本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性，考查函数的定义域，在含参数的函数中需要分类讨论．