Question

7．已知数列{a_n}满足$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N^*），且a₁=$\frac{1}{1006}$．
（I）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求通项a_n．
（2）若b_n=$\frac{2-2010{a}_{n}}{{a}_{n}}$，c_n=b_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（n∈N^*），且T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：1≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （I）由已知，转化构造得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，求得$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006，故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得a_n；
（2）将a_n代入b_n，得b_n=n+1，即可求得c_n，根据T_n=c₁+c₂+…+c_n，采用错位相减法，即可求得T_n，根据函数的单调性，即可求得的T_n取值范围．

解答 解：（I）证明：将$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N^*），两边取倒数，移项整理$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=1006+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+2011}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式，a_n=$\frac{2}{n+2011}$，
（2）将a_n代入b_n，得b_n=$\frac{2-2010×\frac{2}{n+2011}}{\frac{2}{n+2011}}$=n+1，
∴c_n=b_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=2×$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+4×（$\frac{1}{2}$）³+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+4×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=1+$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＜3，
由函数单调性可知，当n=1时，取最小值，T₁=1
∴1≤T_n＜3．

点评 本题考查等差数列的定义，判断、通项公式求解，错位相消法求和，考查 通过对递推式变形，构造出特殊的数列来解决问题的能力，计算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．