题目内容
13．已知在数列{an}中，a1=2，a2=4，且an+1=3an-2an-1（n≥2）．（1）证明：数列{an+1-an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求数列{bn}的前n项和为Tn．
分析 （1）an+1=3an-2an-1（n≥2）．变形an+1-an=2（an-an-1）（n≥2）．利用等比数列的定义即可证明．利用通项公式可得an+1-an=2n．再利用累加求和方法即可得出．
（2）bn=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法即可得出．
解答 （1）证明：∵an+1=3an-2an-1（n≥2）．
∴an+1-an=2（an-an-1）（n≥2）．
又a2-a1=2．
∴数列{an+1-an}为等比数列，公比为2，首项为2．
∴an+1-an=2n．
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+2
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}+1$=2n．
（2）解：bn=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴Tn=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{19}{20}$ | B． | $\frac{325}{462}$ | C． | $\frac{41}{84}$ | D． | $\frac{20}{41}$ |