Question

18．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{3x+y-11≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{2y+1}{x-1}$的取值范围为（　　）

• A． [-2，3]
• B． [-$\frac{1}{3}$，3]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$]
• D． [$\frac{5}{2}$，3]

Answer 1

分析 作出约束条件表示的可行域，变形目标函数为z=2•$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$，及z表示可行域内的点与P点（1，-$\frac{1}{2}$）连线斜率的2倍．根据可行域得出z的范围．

解答 解：作出可行域如图：

由z=$\frac{2y+1}{x-1}$得z=2•$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$．令k=$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$，则k表示点P（1，-$\frac{1}{2}$）与可行域内的点（x，y）连线的斜率．
由可行域可知k_max=k_PA，k_min=k_PB．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得A（2，1），∴z_max=$2•\frac{1+\frac{1}{2}}{2-1}=3$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{3x+y-11=0}\end{array}\right.$得B（4，-1）．∴z_min=2•$\frac{-1+\frac{1}{2}}{4-1}$=-$\frac{1}{3}$．
∴-$\frac{1}{3}≤z≤3$．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，理解z的几何意义是解题的关键，属于中档题．