Question

1．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．
（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；
（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，
由c=2，2a=2，∴b²=3，
故轨迹E的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1（x≥1）$．--（3分）
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{k^2}-3≠0\\△＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}-3}}＞0\\{x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}-3}}＞0\end{array}\right.$，解得k²＞3--（5分）
（i）∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=（{x_1}-m）（{x_2}-m）+{y_1}{y_2}$
$\begin{array}{l}=（{x_1}-m）（{x_2}-m）+{k^2}（{x_1}-2）（{x_2}-2）\\=（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-（2{k^2}+m）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+4{k^2}\\=\frac{{（{k^2}+1）（4{k^2}+3）}}{{{k^2}-3}}-\frac{{4{k^2}（2{k^2}+m）}}{{{k^2}-3}}+{m^2}+4{k^2}\\=\frac{{3-（4m+5）{k^2}}}{{{k^2}-3}}+{m^2}．…（7分）\end{array}$∵MP⊥MQ，∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-{m^2}=0\\{m^2}-4m-5=0\end{array}\right.，解得m=-1$．∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ．--（8分）
（ii）由（i）知，M（-1，0），当直线l的斜率存在时，$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=6\frac{{1+{k^2}}}{{{k^2}-3}}$，M点到直线PQ的距离为d，则$d=\frac{3|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
∴${S_{△MPQ}}=\frac{1}{2}|{PQ}|d=9\frac{{|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{{k^2}-3}}=9\frac{{\sqrt{（1+{k^2}）{k^2}}}}{{{k^2}-3}}=9\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）{k^2}}}{{{{（{k^2}-3）}^2}}}}$--（10分）
令k²-3=t（t＞0），则${S_{△MPQ}}=9\sqrt{\frac{12}{t^2}+\frac{7}{t}+1}$，因为$\frac{1}{t}＞0$
所以${S_{△MPQ}}=9\sqrt{\frac{12}{t^2}+\frac{7}{t}+1}＞9$--（12分）
当直线l的斜率不存在时，${S_{△MPQ}}=\frac{1}{2}•3•6=9$--（13分）
综上可知S_△MPQ≥9，故S_△MPQ的最小值为9．--（14分）

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．