题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$
（1）求 $数学公式$ 的最大值．
（2）若不等式 $数学公式$ 对 $数学公式$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ =cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ -sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ =cos2x=2cos²x-1，
| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ ²+2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ²=1+2cos2x+1=2+2（2cos²x-1）=4cos²x， $\text{[math]}$ ，cosx＞0，
| $\text{[math]}$ |=2cosx．
$\text{[math]}$ =cosx- $\text{[math]}$ ，令t=cosx，则y=t- $\text{[math]}$ ，在t∈[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函数，当t=1时，y取得最大值 $\text{[math]}$ ．
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 即为
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，， $\text{[math]}$ ，1+cos2x＞0，
∴λ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．令t=cosx，则g（t）= $\text{[math]}$ ，g′（t）=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，
∴g（t）在t∈[ $\text{[math]}$ ，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1．
分析：（1）利用三角函数公式、向量的坐标运算得出 $\text{[math]}$ =cosx- $\text{[math]}$ ，再令t=cosx，则y=t- $\text{[math]}$ ，利用单调性求出最大值即可．
（2）将原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，将参数λ分离，得出λ≤ $\text{[math]}$ ．同样地利用换元法求出右边最小值，λ小于等于最小值即可．
点评：本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．