Question

2．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；
（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，可得t的方程，即可得出结论；
（2）利用正弦定理，即可得出结论．

解答 解：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．
在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°，AB=10，AC=9t，BC=21t．
由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
所以${（21t）^2}={10^2}+{（9t）^2}-2×10×9t×（-\frac{1}{2}）$，
化简得36t²-9t-10=0，解得$t=\frac{2}{3}$或$t=-\frac{5}{12}$（舍去）．
所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为$\frac{2}{3}$小时．
（2）由$AC=9×\frac{2}{3}=6$，$BC=21×\frac{2}{3}=14$．
在△ABC中，由正弦定理得$sinB=\frac{AC•sin∠BAC}{BC}=\frac{{6•sin{{120}°}}}{14}=\frac{{6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{14}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
所以角B的正弦值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理，考查特殊角的三角函数．准确找出题中的方向角是解题的关键之处．