Question

17．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据向量垂直的等价条件建立方程关系，结合数量积的应用进行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|，
∴（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$）=0，
即$\overrightarrow a$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即2${\overrightarrow b}$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow b$²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$|${\overrightarrow b}$|${\overrightarrow b}$|cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=0，
则$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=0，
则cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{π}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查向量夹角的计算，根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用是解决本题的关键．