如图.某森林公园有一直角梯形区域ABCD.其四条边均为道路.AD∥BC.∠ADC=90°.AB=5千米.BC=8千米.CD=3千米.现甲.乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地.甲的路线是AD.速度为6千米/小时.乙的路线是ABCD.速度为v千米/小时．(1)若甲.乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟．求乙的速度v的取值范围,(2)已知对讲机有效通话的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5千米，BC=8千米，CD=3千米，现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟．求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米，若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话．求乙的速度v的取值范围．

分析（1）求出AD=12千米，利用甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，建立不等式，即可求得速度v的取值范围；
（2）由于先乙到达D地，故$\frac{16}{v}$＜2，即v＞8，经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f（t）．分类讨论求出f（t），确定最大值，即可求乙的速度v的取值范围．

解答解：（1）由题意，可得AD=12千米．
由题可知|$\frac{12}{6}$-$\frac{16}{v}$|≤$\frac{1}{4}$，解得$\frac{64}{9}$≤v≤$\frac{64}{7}$．
（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f（t）．
由于先乙到达D地，故$\frac{16}{v}$＜2，即v＞8．
①当0＜vt≤5，即0＜t≤$\frac{5}{v}$时，
f（t）=（6t）²+（vt）²-2×6t×vt×cos∠DAB=（v²-$\frac{48}{5}$v+36）t²．
因为v²-$\frac{48}{5}$v+36＞0，所以当t=$\frac{5}{v}$时，f（t）取最大值，
所以（v²-$\frac{48}{5}$v+36）×（$\frac{5}{v}$）²≤25，解得v≥$\frac{15}{4}$．
②当5＜vt≤13，即$\frac{5}{v}$＜t≤$\frac{13}{v}$时，
f（t）=（vt-1-6t）²+9=（v-6）² （t-$\frac{1}{v-6}$）²+9．
因为v＞8，所以$\frac{1}{v-6}$＜$\frac{5}{v}$，（v-6）²＞0，所以当t=$\frac{13}{v}$时，f（t）取最大值，
所以（v-6）² （$\frac{13}{v}$-$\frac{1}{v-6}$））²+9≤25，解得$\frac{39}{8}$≤v≤$\frac{39}{4}$．
③当13≤vt≤16，$\frac{13}{v}$≤t≤$\frac{16}{v}$时，
f（t）=（12-6t）²+（16-vt）²，
因为12-6t＞0，16-vt＞0，所以当f（t）在（$\frac{13}{v}$，$\frac{16}{v}$）递减，所以当t=$\frac{13}{v}$时，f（t）取最大值，
（12-6×$\frac{13}{v}$）²+（16-v×$\frac{13}{v}$）²≤25，解得$\frac{39}{8}$≤v≤$\frac{39}{4}$．
因为v＞8，所以8＜v≤$\frac{39}{4}$．