Question

1．设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数k，定义函数：${f_k}（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）（f（x）≤k）\\ k\;\;\;\;\;\;（f（x）＞k）\end{array}\right.$，取函数f（x）=2-x-e^-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

• A． k的最大值为2
• B． k的最小值为2
• C． k的最大值为1
• D． k的最小值为1

Answer 1

分析 由题意可知f（x）≤k恒成立，利用导数判断f（x）的单调性计算f（x）的最大值，从而得出k的范围．

解答 解：∵对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
∴f（x）≤k恒成立，∴f_max（x）≤k．
∵f′（x）=-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上是减函数，
∴f_max（x）=f（0）=1．
∴k≥1．
故选：D．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数最值及函数恒成立问题，属于中档题．