Question

小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜．
（1）用a、b、c表示小张胜的概率；
（2）若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）由P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球），能用a、b、c表示小张胜的概率．
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一

3a+2b+c

36

，由此能求出小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．

解答：解：（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）
=

a

6

× 

3

6

+

b

6

×

2

6

+

c

6

×

1

6

=

3a+2b+c

36

．
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则
P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，
P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一

3a+2b+c

36

，
∴Eξ=3×

c

6

×

1

6

+2×

b

6

×

2

6

+1×

a

6

×

3

6

+0×（1一

3a+2b+c

36

）
=

3a+4b+3c

36

=

3(a+b+c)+b

36

=

1

2

+

b

36

．
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此时a=c=0，b=6时，Eξ最大．

点评：本题考查概率的性质和求法，考查离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．