题目内容
11．
如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC=$\sqrt{2}$，求三棱锥P-ABC的体积．
分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥平面PCG，然后根据线面垂直的性质即可证明AB⊥PC．
（2）根据三棱锥的体积公式先求出底面积和高，进行求解即可．
解答 
证明：（1）取AB的中点G，连结PG，CG．
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴PG⊥AB，CG⊥AB，
∵PG∩CG=G，且PG?平面PCG，CG?平面PCG，
∴AB⊥平面PCG，
又∵PC?平面PCG，
∴AB⊥PC…（6分）
解：（2）在等腰直角三角形PAB中，AB=$\sqrt{2}$，G是斜边AB的中点，
∴PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△PCG是等边三角形，
∴S△PCG=$\frac{1}{2}$PC•CGsin60°=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵AB⊥平面PCG，
∴VP-ABC=$\frac{1}{3}$S△PCG•AB=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}×$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{24}$…（12分）
点评 本题主要考查线面垂直的性质定理的应用以及三棱锥体积的计算，根据相应的性质定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
1．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P-DE-F的余弦值．
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2．某5名学生的总成绩与数学成绩如表：
（1）画出散点图；
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
| 学生 | A | B | C | D | E |
| 总成绩（x） | 482 | 383 | 421 | 364 | 362 |
| 数学成绩（y） | 78 | 65 | 71 | 64 | 61 |
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．