Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4在x=-2时取得极值．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（-2）=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a，
若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4在x=-2时取得极值，
则f′（-2）=4-a=0，解得：a=4，
a=4时，f′（x）=（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，2）递减，在（2，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
f（x）在[0，2）递减，在（2，3]递增，
∴f（x）在最小值是f（2）=-$\frac{4}{3}$，f（x）的最大值是f（3）=1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．