Question

15．设a为实数，f（x）=lnx-ax
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（Ⅱ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx-x，定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＜0得x＞1，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，
所以函数f（x）=lnx-x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间是（0，1）．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵x＞0，所以当a≤0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）是增函数，
函数无极值；
当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上f′（x）＞0，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函数，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数，
故f（x）的极大值是f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1．

点评 本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．