Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{e}^{x+1}-\frac{3}{e}|-a，x≤0}\\{lgx+a，x＞0}\end{array}\right.$（a∈R）．
①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是$\frac{3}{e}$＜a≤e-1；
②若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是0＜a＜$\frac{3}{e}$；
③若y=f（x）的图象与y=kx-a的图象有四个交点，则实数k的取值范围是-$\frac{1}{e}$＜k＜0；
④若y=f（x）的图象与y=kx-a的图象有三个交点，则k=-e．
其中正确结论的序号是②③．

Answer 1

分析 作出y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函数图象，根据函数图象判断零点个数与a的关系；求出y=kx与y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）的左段图象相切时的斜率，结合图象判断交点个数与k的关系．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=lnx+a的值域为R，故f（x）在（0，+∞）上恒有一个零点，
当x≤0时，令f（x）=0得|e^x+1-$\frac{3}{e}$|=a，作出y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函数图象如图所示，
由图象可知：若f（x）有两个零点，则$\frac{3}{e}$＜a≤e-$\frac{3}{e}$或a=0，故①错误；
若f（x）有三个零点，则0＜e＜$\frac{3}{e}$，故②正确；
令f（x）=kx-a得，|e^x+1-$\frac{3}{e}$|=kx（x≤0）或kx=lnx+2a（x＞0）．
设y=mx与y=$\frac{3}{e}$-e^x+1（x＜0）相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{m=-{e}^{{x}_{0}+1}}\\{{y}_{0}=m{x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{e}-{e}^{{x}_{0}+1}}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{e}$．x₀=-2，y₀=$\frac{2}{e}$．
此时，直线与f（x）有三个交点，故④错误；
∴当-$\frac{1}{e}$＜k＜0时，由图象可知f（x）与y=kx-a有四个交点，故③正确．
故答案为：②③．

点评 本题考查了分段函数的图象，函数的零点个数与图象的关系，正确画出函数图象是解题关键，属于难题．