Question

10．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．

（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；

	优分	非优分	总计
男生
女生
总计			50

（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（n=a+b+c+d）．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出2×2列联表，计算k²的值，判断即可；（Ⅱ）根据优分人数X服从二项分布$B（3，\frac{2}{5}）$，求出E（x）即可．

解答 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：

	优分	非优分	总计
男生	9	21	30
女生	11	9	20
总计	20	30	50

K²的观测值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{50×{{（9×9-11×21）}^2}}}{20×30×20×30}=3.125＞2.706$，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；  
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此可将男女生成绩的优分频率$f=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$视作概率；
从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，
优分人数X服从二项分布$B（3，\frac{2}{5}）$，
P（X=k）=$C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$

X	0	1	2	…（10分） 3
p	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

X的分布列为：数学期望$E（X）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了2×2列联表，考查二项分布和数学期望，是一道中档题．