Question

15．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AMC；
（2）求三棱锥P-AMC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，连结OM，则OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）取AB中点N，连结PN，则PN⊥平面ABCD，由V_P-AMC=V_P-ACD=V_M-ACD，能求出三棱锥P-AMC的体积．

解答 证明：（1）连结BD交AC于O，连结OM，
因为ABCD为菱形，OB=OD，所以OM∥PB．
因为直线PB?平面AMC，OM?平面AMC，
所以PB∥平面ACM．
解：（2）取AB中点N，连结PN，则PN⊥AB，且PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD，
所以${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$，${V}_{M-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}a$=$\frac{1}{16}{a}^{3}$，
所以${V_{P-AMC}}={V_{P-ACD}}={V_{M-ACD}}=\frac{1}{8}{a^3}-\frac{1}{16}{a^3}=\frac{1}{16}{a^3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．