Question

6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10$\sqrt{3}$，则△ABC的周长为20．

Answer 1

分析 由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin60°=10$\sqrt{3}$，可解得bc=40，由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA，从而解得b²+c²=89，从而（b+c）²=b²+c²+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin60°=10$\sqrt{3}$，
∴bc=40，
由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA，从而有49=b²+c²-bc，解得b²+c²=89，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．
∴△ABC的周长为：13+7=20．
故答案为：20．

点评 解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．