假设小明家订了一份报纸.送报人可能在早上x点把报纸送到小明家.小明每天离家去工作的时间是在早上y点.记小明离家前不能看到报纸为事件M．(1)若送报人在早上的整点把报纸送到小明家.而小明又是早上整点离家去工作.求事件M的概率,(2)若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家.而小明也是早上任意时刻离家去工作.求事件M的概率．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．
（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；
（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．

分析（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果整点共有3×3=9个，事件M所构成的整点有3个，根据古典概型的计算公式，计算可得答案．
（2）根据题意，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件M所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．

解答解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；
则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}，
整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}整点有3个．
是一个古典几何概型，所以P（M）=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；
则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为S_Ω=4，
事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}即图中的阴影部分，面积为S_A=0.5．
这是一个几何概型，所以P（M）=$\frac{{s}_{A}}{{s}_{Ω}}$=$\frac{0.5}{4}=\frac{1}{8}$．

点评本题考查了古典概型、几何概型的计算公式，属于中档题．

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12．对于任意的实数λ∈R，直线（2λ+1）x+（λ-1）y+1=0恒过定点$（-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．

9．直线l过点P（-1，2）且点A（2，3）和点B（-4，6）到直线l的距离相等，则直线l的方程为x+2y-3=0或x=-1．

16．

为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①$y={C_1}{x^2}+{C_2}$与模型；②$y={e^{{C_3}x+{C_4}}}$作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．

温度x/°C	20	22	24	26	28	30	32
产卵数y/个	6	10	21	24	64	113	322
t=x²	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\overline x$	$\overline t$	$\overline y$	$\overline z$
26	692	80	3.57
$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{t_i}-\overline t）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中${t_i}={x_i}^2$，$\overline t=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{t_i}$，z_i=lny_i，$\overline z=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{z_i}$，
附：对于一组数据（μ₁，ν₁），（μ₂，ν₂），…（μ_n，ν_n），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{μ_i}-\bar μ）（{ν_i}-\bar ν）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{μ_i}-\bar μ）}^2}}}}$，$α=\bar ν-β\bar μ$
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数．（C₁，C₂，C₃，C₄与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．

6．已知直线y=kx+1与抛物线y=x²交于A，B两点．O为坐标原点
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△AOB的面积为2，求k的值．

13．有下列命题：
①等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，公比为q，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍然是等比数列，其公比为qⁿ；
②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是$4\sqrt{3}π$cm³；
③若数列{a_n}是正项数列，
且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（n∈{N^*}）$，
则$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+…+\frac{a_n}{n+1}=2{n^2}+6n$；
④在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则${\overrightarrow{AD}^{\;}}{•^{\;}}\overrightarrow{BC}$的取值范围是[-5，2]．
其中正确命题的序号是②③④（填番号）

10．直线l₁，l₂分别是函数f（x）=sinx，x∈[0，π]图象上点P₁，P₂处的切线，l₁，l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积为$\frac{{π}^{2}}{4}$．

14．函数y=tan（$\frac{π}{4}$-x）的定义域是（　　）

A．

{x|x≠$\frac{π}{4}$}

B．

{x|x≠$\frac{π}{4}$，k∈Z}

C．

{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}

D．

{x|x≠$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z}

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