Question

8．求下列各函数的周期和值域：
（1）y=sinxcosx；
（2）y=$\sqrt{3}$cosx+sinx．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简函数解析式可得y=$\frac{1}{2}$sin2x，利用周期公式可求周期T，利用正弦函数的图象和性质可求函数值域．
（2）利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求周期T，利用正弦函数的图象和性质可求函数值域．

解答 解：（1）∵y=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵sin2x∈[-1，1]，
∴y=$\frac{1}{2}$sin2x的值域为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）∵y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴函数的周期T=$\frac{2π}{1}$=2π，
∵sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的值域为：[-2，2]．

点评 本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．