Question

6．已知直线l过点P（2，1）
（1）点A（-1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案；
（2）由题可设l的截距式方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案．

解答 解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．
故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即kx-y-2k+1=0，
由题意得：$\frac{|-k-3-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
解之得：k=-$\frac{1}{2}$或k=-1，
故所求直线方程为x+2y-4=0或x+y-3=0
（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，
则l的截距式方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\ \frac{1}{2}ab=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\end{array}\right.$，
故l方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，
即x+2y-4=0．

点评 本题考查的知识点是直线方程的求法，点到直线的距离公式，方程思想，难度中档．