Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．
（1）求证：PC∥平面BMN；
（2）求证：平面BMN⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BN=O，连结MO，AN，利用三角形中位线的性质证明MO∥PC，利用线面平行的判定定理证明PC∥平面BMN；
（2）（方法一）证明BN⊥平面PAC；（方法二）证明PA⊥平面BMN，利用线面垂直证明平面与平面垂直．

解答 证明：（1）设AC∩BN=O，连结MO，AN，
因为$AB=\frac{1}{2}CD，AB∥CD$，N为CD的中点，
所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，
所以O为AC的中点，所以MO∥PC．
又因为MO?平面BMN，PC?平面BMN，所以PC∥平面BMN．
（2）（方法一）因为PC⊥平面PDA，AD?平面PDA
所以PC⊥AD，由（1）同理可得，四边形ABND为平行四边形，
所以AD∥BN，所以BN⊥PC
因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC，
因为PC∩AC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，所以BN⊥平面PAC
因为BN?平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC．
（方法二）连结PN，因为PC⊥平面PDA，PA?平面PDA，所以PC⊥PA
因为PC∥MO，所以PA⊥MO，因为PC⊥平面PDA，PD?平面PDA，所以PC⊥PD
因为N为CD的中点，所以$PN=\frac{1}{2}CD$，由（1）$AN=BC=\frac{1}{2}CD$，所以AN=PN
又因为M为PA的中点，所以PA⊥MN
因为MN∩MO=M，MN?平面BMN，MO?平面BMN
所以PA⊥平面BMN，因为PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．