Question

（本题满分18分）设等差数列的前项和为，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且（其中是非零的实数），若，，成等差数列，问，， 能成等比数列吗？说明理由；

（3）设数列的通项公式，是否存在正整数、（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有、的值；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

（1）；（2），， 是等比数列；（3）所有、的值分别为．

【解析】

试题分析：（1）设出数列的首项与公差，整理成关于公差、首项的方程组，进行求解；（2）讨论与两种情况，求和，利用等差中项与等比中项进行证明；（3）利用等比中项得到关系式，利用放缩法进行求不等式.

试题解析：（1）由题意，得，即，解得，则；

（2），

当时，，，不成等差数列，不符题意；

当时，由，，得，

又， ，

所以，， 是等比数列。

（3），，，

解不等式，得，

所以，所有、的值分别为.

考点：1.等差数列；2.等差中项、等比中项；放缩法.