Question

9．若点O和点$F（-\sqrt{3}，0）$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}={1_{\;}}$（a＞0）的对称中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范围为（1，（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 根据双曲线的焦点坐标，求出a的值，设P（x，y），利用距离公式进行转化求解即可．

解答 解：∵点O和点$F（-\sqrt{3}，0）$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}={1_{\;}}$（a＞0）的对称中心和左焦点，
∴c=$\sqrt{3}$，则c²=a²+1=3，则a²=2，
即双曲线方程为$\frac{1}{2}$x²-y²=1，
设P（x，y），则x≥$\sqrt{2}$，
则$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$=$\frac{（x+\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$=1+$\frac{4}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{4}{3}（\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，
∵x≥$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最大值为$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$，
故$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范围为（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]，
故答案为（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，利用距离公式，转化为一元二次函数形式是解决本题的关键．