Question

14．设函数f（x）=[x²-（b+2）x+1]e^x，b为实常数．
（Ⅰ）当b=0时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）在[-1，1]上的最小值和最大值分别为m，M，若m•M=-12，求b的值．

Answer 1

分析 （I）求出导函数f′（x），令f′（x）＞0解出增区间，令f′（x）＜0解出减区间；
（II）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，讨论极值点的大小关系，得出f（x）的减区间D，令[-|b|，|b|]⊆D求出b的范围；
（III）根据（II）的讨论判断f（x）在[-1，1]上的单调性，求出f（x）的最值，根据m•M=-12列方程解出b．

解答 解：（I）当b=0时，f（x）=（x-1）²e^x，f′（x）=（x²-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1．令f′（x）＜0，解得-1＜x＜1．
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（II）f′（x）=（x+1）（x-b-1）e^x，
∵f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上单调递减，
∴f′（x）≤0在[-|b|，|b|]上恒成立．
令f′（x）=0，解得x=-1或x=b+1．
①若b+1=-1，即b=-2时，f′（x）=（x+1）²e^x≥0，不符合题意．
②若b+1＜-1，即b＜-2时，f′（x）≤0的解为b+1≤x≤-1，即f（x）的减区间为[b+1，-1]，显然不符合题意．
③若b+1＞-1，即b＞-2时，f′（x）≤0的解为-1≤x≤b+1，即f（x）的减区间为[-1，b+1]．
∵f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上单调递减，
∴-1≤-|b|＜|b|≤b+1，解得-$\frac{1}{2}$≤b≤1且b≠0．
综上，b的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，1]．
（III）①当b+1≤-1即b≤-2时，f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴m=f（-1）=（4+b）e^-1，M=f（1）=-be，∴-b（4+b）=-12，解得b=-6．
②当-1＜b+1≤1即-2＜b≤0，f（x）在[-1，b+1]上单调递减，在（b+1，1）上单调递增，
∴m=f（b+1）=-be^b+1≥0，∴M＞m≥0，故m•M≥0，不符合题意．
③当b+1＞1即b＞0时，f（x）在[-1，1]上单调递减，
∴m=f（1）=-be，M=f（-1）=（4+b）e^-1，∴-b（4+b）=-12，解得b=2．
综上，b=-6或b=2．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的求解，分类讨论思想，属于中档题．