Question

要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍．设圆锥母线和底面所成角为θ（弧度），总费用为y（元）．
（1）写出θ的取值范围；
（2）将y表示成θ的函数关系式；
（3）当θ为何值时，总费用y最小？

Answer 1

分析：（1）先设圆锥的高为h₁米，母线长为l米，圆柱的高为h₂米；圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，由圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．则h₁＜r，?tanθ=

h1

r

＜1求得；
（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh₂，圆柱的地面费用为2aπr²?y=4aπrl+2aπrh₂+2aπr²?2aπr2[(

2

cosθ

-tanθ)+3]
（3）抽象出f(θ)=

2

cosθ

-tanθ?f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

?当θ=

π

6

时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0得解．

解答：解：圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，
设圆锥的高为h₁米，母线长为l米，圆柱的高为h₂米；
（1）∵圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．
则h₁＜r，
tanθ=

h1

r

＜1
∴θ∈(0，

π

4

)…（3分）
（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh₂，圆柱的地面费用为2aπr²，..（6分）（每个面积公式1分）
则y=4aπrl+2aπrh₂+2aπr²
=2aπr（2l+h₂+r）=2aπr[

2r

cosθ

+（r-h₁）+r]
=2aπr[

2r

cosθ

+（r-rtanθ）+r]=2aπr2[(

2

cosθ

-tanθ)+2]（9分）
（3）设f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中θ∈(0，

π

4

)…（10分）
则f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

，..（11分）
当θ=

π

6

时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0；
当θ∈(0，

π

6

)时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＜0；
当θ∈(

π

6

，

π

4

)时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＞0；..（13分）
则当θ=

π

6

时，f（θ）取得最小值，..（14分）
则当θ=

π

6

时，费用y最小（15分）

点评：本题主要考查函数模型的建立，定义域和函数最值的求法．