Question

17．已知函数$f（x）=1+\frac{1}{x}+lnx+\frac{lnx}{x}$，试判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论导函数的单调性求出f（x）的单调性即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x-lnx，则g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
即f′（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
f′（x）≥f′（1）=1，
故f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．