Question

18．若数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，S_n=a_n+1+n，则其通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得S_n-1=a_n+n-1（n≥2），与原递推式作差可得数列{a_n-1}自第二项起构成以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由S_n=a_n+1+n，得S_n-1=a_n+n-1（n≥2），
两式作差得：a_n=a_n+1-a_n+1，即a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n≥2），
由a₁=1，S_n=a_n+1+n，得a₂=0，
a₂-1=-1，a₁-1=0，不满足a_n+1-1=2（a_n-1），
∴数列{a_n-1}自第二项起构成以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-1=-1×{2}^{n-2}$，即${a}_{n}=1-{2}^{n-2}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．