Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁
（I）求证：BC₁∥平面DCA₁
（II）求证：平面ABC⊥平面ABB₁A₁
（III）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．根据三角形中位线定理，易得到DK∥BC₁，再由线面平行的判定定理得到BC₁∥平面DCA₁；
（II）由已知条件推导出CD⊥AB，CD⊥DA₁，由此能证明平面ABC⊥平面ABB₁A₁
（III）由AC=BC，D为AB的中点，取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，得到DCC₁E是平行四边形，则∠EBC₁即为BC₁与平面ABB₁A₁所成角的二面角，解三角形即可求出答案．

解答 解：（I）证明：如图一，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．
在△ABC₁中，D、K为中点，∴DK∥BC₁，
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁．


（II）证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD?平面ABC，∴平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（III）取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四边形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角，
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴$B{C_1}=2\sqrt{2}$，$E{C_1}=\sqrt{2}$，∠EBC₁=30°．

点评 本题主要考查线面平行以及面面垂直的判断，以及线面角的求解，根据线面平行和面面垂直的判定定理以及利用定义法求出线面角的平面角是解决本题的关键．