Question

11．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c
（Ⅰ）证明：若A、B、C成等差数列，则B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）证明：若a、b、c的倒数成等差数列，则B＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的性质，结合三角形的内角和，即可证明；
（Ⅱ）利用反证法进行专门．

解答 证明：（Ⅰ）由A、B、C成等差数列，得2B=A+C  
又A+B+C=π 
所以3B=π，B=$\frac{π}{3}$，…2分
（Ⅱ）因为a、b、c的倒数成等差数列
所以有 $\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$．…4分
假设B＜$\frac{π}{2}$不成立，即B≥$\frac{π}{2}$，则B是△ABC的最大内角，
所以b＞a，b＞c
所以有$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{b}+\frac{1}{b}$=$\frac{2}{b}$．…6分
这与$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$矛盾，所以假设不成立．
因此B$＜\frac{π}{2}$                    …..…8分

点评 本题考查反证法的运用，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．