Question

2．对?a，b∈R，定义运算：a⊕b=a（a-b），a?b=b（a+b）．则下列判断正确的是④⑤．
①2016⊕2017=2017；②（x+1）⊕1=1?x；③f（x）=x?（x⊕1）的零点为1，$\frac{1}{2}$；
④a⊕b=b⊕a的必要不充分条件是a=b；⑤a?b=b?a的充要条件是a⊕b=b⊕a．

Answer 1

分析 根据对?a，b∈R，定义运算：a⊕b=a（a-b），a?b=b（a+b），分别判断5个命题，即可得出结论．

解答 解：①2016⊕2017=2016×（2016-2017）=-2016，不正确；
②（x+1）⊕1=（x+1）x，1?x=1•（1-x）=1-x，所以不正确；
③f（x）=x?（x⊕1）=x³（x-1）的零点为0，1，所以不正确；
④a=b，则a⊕b=b⊕a；a⊕b=a（a-b），b⊕a=b（b-a），若a⊕b=b⊕a，则a（a-b）=b（b-a），∴a=b或a=-b，所以a⊕b=b⊕a的必要不充分条件是a=b，正确；
⑤a?b=b?a，则b（a+b）=a（a+b），∴a=b或a=-b，由④知道a⊕b=b⊕a，所以a?b=b?a的充要条件是a⊕b=b⊕a，正确．
故答案为：④⑤．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．