题目内容

以过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（　　）
分析：根据圆锥曲线的统一定义，可得过椭圆右焦点F的弦AB中点为M，且M到右准线l的距离大于圆的半径，由此可得该圆与右准线l的位置．
解答：解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
|AF|
|AC|
=
|BF|
|BD|
=e，可得
|AF|+|BF|
|AC|+|BD|
=e＜1
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=
1
2
|AB|，|MN|=
1
2
（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
点评：本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•东城区二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是
4
5
5
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，长轴长为2
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）试直线y=kx+1交椭圆于不同的两点A、B，以AB为直径的圆恰过原点O，求直线方程．
（2008•宝坻区一模）设直线l：y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（1）证明：a2+b2＞1；
（2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a2．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），点A、B坐标为A（a，0），B（0，b），若△ABC面积为
3
2
，∠BF2A=120°．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N，且以MN为直径的圆恰好过原点，求实数k的取值；
（3）动点P使得
F1P
•
F1F2
、
PF1
•
PF2
、
F2F
1•
F2P
成公差小于零的等差数列，记θ为向量
PF1
与
PF2
的夹角，求θ的取值范围．
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两焦点F1，F2与短轴两端点B1，B2构成∠B2F1B1为120°，面积为2
3
的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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