Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）连接EF，利用中位线定理得出EF∥PB，故而PB∥平面AEC；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，结合AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBD．

解答 解：（1）证明：连接EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴F是BD的中点，又E是PD的中点，
∴PB∥EF，又EF?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．