Question

4．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x²-y²=1右支上一个动点．若点P到直线x-y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线，利用渐近线和直线x-y+2=0平行，求出两平行线之间的距离，利用不等式恒成立进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=x或y=-x
y=x到平行直线x-y+2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
则若点P到直线x-y+2=0的距离d＞$\sqrt{2}$，
∵d＞t恒成立，
则t≤$\sqrt{2}$，
即t的最大为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查双曲线的性质，根据条件转化为求两平行之间的距离是解决本题的关键．