Question

9．已知点A，B分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，$∠MCN=\frac{2π}{3}$，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若b是a和c的等差中项，且c-a=4，求c的值；
（2）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等差中项以及已知条件，结合余弦定理转化求解即可．
（2）利用正弦定理列出三角形的周长，通过两角和与差的三角函数结合三角函数的有界性求解即可．

解答 解：（1）因为a，b，c成等差数列，且公差为2，故a=c-4，b=c-2，
在△ABC中，$∠MCN=\frac{2π}{3}$，所以$cosC=-\frac{1}{2}$，
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$；代入得c²-9c+14=0，
解得c=2或c=7；因为c＞4，故c=7．
（2）在△ABC中，$C=\frac{2π}{3}$，$c=\sqrt{3}$，设∠ABC=θ，
由正弦定理得$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{π}{3}-θ）}}=\frac{ab}{{sin\frac{2π}{3}}}$，所以AC=2sinθ，$BC=2sin（\frac{π}{3}-θ）$；
设△ABC的周长为l，则$l=2sinθ+2sin（\frac{π}{3}-θ）+\sqrt{3}=2sin（θ+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，
因为$θ∈（0，\frac{π}{3}）$，所以当$θ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$时，周长l取到最大值$2+\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．