Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）当x∈[-2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数的图象得出A与$\frac{1}{4}$周期，从而求出ω与φ的值，写出函数f（x）解析式；
（II）根据x的取值范围求出$\frac{3}{4}$x-$\frac{3π}{4}$的取值范围，从而求出f（x）的最值以及对应x的值．

解答 解：（Ⅰ）由图象得A=1，…（1分）
周期为T=4×（π-$\frac{π}{3}$）=$\frac{8π}{3}$，则ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{3}{4}$，…（2分）
把（$\frac{π}{3}$，-1）代入得f（x）中，得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=-1，
又-π＜φ＜0，所以-$\frac{3π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+φ＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$+φ=-$\frac{π}{2}$，φ=-$\frac{3π}{4}$；…（4分）
因此函数f（x）=sin（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3π}{4}$）；…（5分）
（II）∵x∈[-2π，0]，
$\frac{3}{4}$x∈[-$\frac{3π}{2}$，0]，
$\frac{3}{4}$x-$\frac{3π}{4}$∈[$\frac{9π}{4}$，-$\frac{3π}{4}$]；…（6分）
当$\frac{3}{4}$x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{3π}{2}$，即x=-π时f（x）取得最大值1，…（8分）
当$\frac{3}{4}$x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{3π}{4}$，即x=0时f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．