Question

18．已知函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x$-\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
当2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$，即x=0时，函数f（x）取得最小值为$-\sqrt{3}$．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为$-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．