Question

10．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-2＞0①\\ 2{x^2}+（5+2a）x+5a＜0②\end{array}\right.$解集中的整数有且只有一个，则a的范围（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-3，2）
• C． [-3，2）∪（3，4]
• D． （3，4]

Answer 1

分析 解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$或x=-a，分类讨论可得a的范围．

解答 解：解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，
解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$或x=-a，
若-a＜-$\frac{5}{2}$，则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：（-a，-$\frac{5}{2}$），此时不等式组的解集为：（-a，-$\frac{5}{2}$），-2∉（-a，-$\frac{5}{2}$），整数解就是-3∈（-a，-$\frac{5}{2}$），a∈（3，4]符合题意．若-a=-$\frac{5}{2}$，则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：∅，此时不等式组的解集为：∅，-2∉∅，不满足条件；
若-a＞-$\frac{5}{2}$则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：（-$\frac{5}{2}$，-a），若不等式组解集中的整数有且只有-2，则-2＜-a≤3，
解得：a∈[-3，2），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是二次不等式的解法，集合的交集运算，分类讨论思想，属于中档题．